Задание № 523 
Сложность: V
Разные задачи
i
Дан куб ABCDA1B1C1D1 с длиной ребра, равной 118. На ребрах ВС и ВВ1 взяты соответственно точки М и N так, что 
и 
Через точки M, N, A1 проведена плоскость. Найдите расстояние d от точки С до этой плоскости. В ответ запишите значение выражения d2.
Решение. 
Обозначим временно ребро куба за 5x, тогда 
Заметим, что прямые MN, B1C и A1D параллельны, поэтому искомое расстояние равно расстоянию от любой точки прямой B1C до плоскости MNA1D.
Пусть точка O — середина B1C, точка H — середина MN и точка K — середина A1D. Опустим перпендикуляр OT на прямую HK. Он перпендикулярен прямой HK по построению и лежит в плоскости BAD1C1, перпендикулярной к прямой A1D (так как отрезки A1D и AD1 перпендикулярны как диагонали квадрата, а отрезок A1D перпендикулярен ребру C1D1, поскольку ребро C1D1 перпендикулярно плоскости ADD1A1), значит, перпендикулярен и A1D, а потому (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости) и всей плоскости MNA1D. Следовательно, его длина и есть нужное расстояние.
Изобразим отдельно плоскость ABC1D1. По теореме Фалеса
откуда
и
Далее, 
тогда
и
Значит,
Ответ: 2124.
Ответ: 2124